03216 备考指南③ | 第三章重点：数字之趣——素数、哥德巴赫猜想、π 与 e

第一节 有趣的数字

• 十进制的来历：人类主要采用十进制，与人的手指共有十个有关——判断题原题（对）。
• 计数考古：狼骨上的刻痕计数考古发现约在 3 万年前；中国的甲骨文距今约 3000 多年（判断题若说"8000 年"则为错）。
• 完数与亲和数：6 = 1+2+3 是最小的完全数（完数），220 与 284 是毕达哥拉斯学派发现的第一对亲和数。了解概念即可，单选偶考。
• 有趣的数论现象：回文数、缺 8 数等趣味案例，理解即可。

第二节 素数和哥德巴赫猜想

1. 素数基础。 大于 1 的自然数中只能被 1 和自身整除的数叫素数（质数）。欧几里得在《几何原本》中证明素数有无穷多个（反证法经典）。算术基本定理：任何大于 1 的整数都能唯一分解为素数之积。埃拉托斯特尼筛法是找素数的古典方法。

2. 哥德巴赫猜想（必考）。 1742 年哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任何大于 2 的偶数都可写成两个素数之和，即"1+1"。至今未被证明。中国贡献必须记牢：陈景润 1966 年证明"任何充分大的偶数可写成一个素数与一个至多是两个素数乘积之和"，即"1+2"，国际称"陈氏定理"——这是迄今最好结果。单选、判断双料考点。

3. 孪生素数猜想：相邻差 2 的素数对（3 与 5、11 与 13）无穷多，了解名称即可。

第三节 别具韵味的数字诗

理解性内容：宝塔诗（一去二三里）、回文诗与数字入诗的趣味案例，体现数字的文化韵味。考点少，通读一遍即可，但注意"卓文君与司马相如的一别之后，二地相悬"等数字信典故可能作为文化常识出现。

第四节 说不尽的 π

1. π 的历史脉络（人—成就对应，单选高频）：

• 阿基米德：用正多边形逼近圆（割圆思想），算得 223/71 < π < 22/7；
• 刘徽（中国魏晋）：创立割圆术，"割之弥细，所失弥少"；
• 祖冲之（南北朝）：算得 3.1415926 < π < 3.1415927，给出密率 355/113、约率 22/7，领先世界近千年。

⚠️ 判断题最大陷阱之一："祖冲之创立割圆术并算出圆周率"——前半句错，割圆术是刘徽创立的，祖冲之是在刘徽基础上推算到更高精度。

2. π 是无理数（1761 年兰伯特证明），也是超越数（1882 年林德曼证明），所以"化圆为方"尺规作图不可能。

第五节 不可思议的自然常数 e

• e ≈ 2.71828…，定义来自极限 lim(1+1/n)^n（复利问题），以欧拉命名（欧拉数）。
• e 是无理数且是超越数。欧拉公式 e^{iθ} = cosθ + i·sinθ；取 θ=π 得 e^{iπ}+1=0，被誉为数学中最优美的公式，把 e、π、i、1、0 五大常数连在一起——单选与判断都爱考。
• 自然对数 ln 以 e 为底，源于连续复利与增长模型。

第六节 大数与无穷大

• 无穷不是数：无穷大是一个趋势概念，不能参与四则运算的常规规则。
• 伽利略悖论：自然数与它的平方数可以一一对应，"部分等于整体"。判断题原题："伽利略悖论的产生是由于没有注意无限特点而产生的"——对；"有限时成立的命题在无限时仍然成立"——错（这是本课判断题出现频率最高的一条）。
• 康托与集合论：康托创立集合论，用一一对应比较无穷的大小，证明无理数（实数）比有理数多（对角线法）。判断题"无理数比有理数多"——对；"实数在数轴上是离散的"——错（实数连续充满数轴，有理数才稠密而"有空隙"）。

记忆口诀

• "阿基逼近刘徽割，祖冲率到七位多"——π 史三人一串；
• "哥猜 1742 欧拉接，陈景润 1+2 建功业"；
• "伽利略悖论错在拿有限当无限，康托对角线实数多过有理数"。

自测三题

1. 哥德巴赫猜想的"1+2"是谁证明的？（陈景润）
2. 密率 355/113 是谁给出的？（祖冲之）
3. "有理数"的英文 rational 更准确的翻译是什么？（比数——判断题原题，对）