第 3 章：关系模型与关系代数精讲

关系代数是 SQL 的"数学原型"。看起来抽象，其实每一种运算都能在 SQL 里找到对应写法。本章先过一遍关系模型术语，再把 7 种运算逐个讲透，最后给出综合题的解题流程。

一、关系模型的术语体系

一张表就是一个关系。逐个对号：

术语	直观理解
关系	一张规范化的二维表
元组	表中的一行（一条记录）
属性	表中的一列（一个字段）
域	属性的取值范围
分量	元组在某个属性上的具体值
候选码	唯一标识元组的最小属性集
主码	选定的一个候选码
主属性	出现在任一候选码中的属性
非主属性	不在任何候选码中的属性
外码	引用另一个关系候选码的属性（组）

关系的性质（选择题）：属性名唯一且同质（同列取自同一域）；元组不重复；行列次序可以任意交换；每个分量必须是不可再分的数据项（原子性）。最后一条是"规范化二维表"的判据——单元格内不能是"电话1/电话2"这种复合值。

二、传统集合运算（要求相容：属性个数相同且对应域相同）

设有学生 A 班名单 R 和 B 班名单 S（结构相同）：

1. 并 R ∪ S：两个班所有学生（去重）；
2. 差 R − S：在 R 中但不在 S 中的学生（只在 A 班）；
3. 交 R ∩ S：两个班都有的学生；R ∩ S = R − (R − S)；
4. 笛卡尔积 R × S：把两个任意结构关系的元组两两拼接。结果列数 = 两者之和，行数 = 两者之积。它本身意义不大，但它是"连接"的原料。

三、专门的关系运算（考试核心）

以下用 Student(Sno, Sname, Sdept, Sage) 和 SC(Sno, Cno, Grade) 示例。

1. 选择 σ：按条件挑行（水平切割）

σ_{Sdept='计算机' ∧ Sage>20}(Student) → 计算机系 20 岁以上的学生行。

SQL 对应：SELECT * FROM Student WHERE Sdept='计算机' AND Sage>20。

2. 投影 π：按列挑取（垂直切割，自动去重）

π_Sname,Sdept(Student) → 只留姓名、系别两列。

SQL 对应：SELECT Sname,Sdept FROM Student。

3. 连接 ⋈：把两张表按条件拼起来

• θ 连接：R ⋈_AθB S，保留满足 θ 条件的拼接行；
• 等值连接：θ 取 =；
• 自然连接：比较同名列相等，且结果去掉重复列——最常用，隐含条件通常是主码 = 外码。

考点：自然连接与等值连接的区别 = 是否去掉重复属性列。

SQL 对应：FROM Student JOIN SC ON Student.Sno = SC.Sno。

4. 除法 ÷：回答"全部/所有"型查询

"查询选修了全部课程的学生学号"：

SC ÷ Course。被除关系 SC(X,Y)，除数关系 Course(Y)，结果取 X 中那些在 SC 中与 Course 的每一个 Cno 都配对过的 Sno。

口诀记牢：题目出现"全部/所有/每一门"，答案就是除法。

四、综合题解题流程（背下来）

考题形式："设有……关系模式，用关系代数写出查询"。

第一步：读题，圈出"查询结果要什么列"和"条件"。
第二步：判断用几张表 → 多表先自然连接（按主外码）。
第三步：套公式组合：

π 输出列 ( σ 条件 ( 表1 ⋈ 表2 ) )

第四步：若条件含"所有/全部"，改用除法，外层再套 π。

例题：查询选修了'C02'号课程且成绩大于 80 的学生姓名。

π_Sname( σ_{Cno='C02' ∧ Grade>80}(Student ⋈ SC) )

五、自测题

1. 候选码和主码的区别是什么？（一个是资格，一个是当选者）
2. 自然连接与等值连接的区别？（去不去重复列）
3. "查询供应了全部零件的供应商"用什么运算？（除法）
4. 投影之后行数会不会变少？（会，因为去重）

下一篇进入全书最重的板块——第 4 章 SQL 之建库建表。