学习指南（五·上）一元函数积分学：不定积分——求导的逆运算

一、这一章在学什么

2023 年版教材第 5 章是"一元函数积分学"，上半部分讲不定积分：已知 f′(x)，如何找回 f(x)？求导是"正向"，积分是"逆向"。逆向运算的特点是结果不唯一（差一个常数），所以所有不定积分结果后面都要 +C。这一章是纯计算章，分值高、套路清晰，是投入产出比最高的章节之一。

二、必须吃透的三个核心概念

1. 原函数与不定积分

若 F′(x) = f(x)，则 F(x) 是 f(x) 的一个原函数；全体原函数 F(x)+C 记作 ∫f(x)dx。三件事绑定记忆：被积函数、积分变量、常数 C。检验积分是否做对，万能方法：对结果求导，看是否还原被积函数。

2. 基本积分公式表（与求导公式表互为镜像）

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C（n≠−1）；∫1/x dx = ln|x|+C；∫eˣdx = eˣ+C；∫aˣdx = aˣ/lna+C；∫sinx dx = −cosx+C；∫cosx dx = sinx+C；∫sec²x dx = tanx+C；∫1/√(1−x²) dx = arcsinx+C；∫1/(1+x²) dx = arctanx+C。特别注意两处易错：∫1/x dx 的绝对值，∫1/x² dx = −1/x+C 的负号。

3. 线性性质

和差可拆、常数因子可提。多项式积分逐项处理即可。

三、四大计算套路（考试全部围绕它们）

套路一：直接积分法

套公式 + 代数变形。常用变形技巧：分子加一项减一项、分式拆项（如 1/(x(x+1)) 拆成 1/x − 1/(x+1)）、三角恒等变形（如 sin²x = (1−cos2x)/2）。"变形"能力是直接积分法的关键。

套路二：凑微分法（第一类换元，使用率最高）

识别 f(φ(x))·φ′(x) 结构，把 φ′(x)dx 凑成 dφ(x)。必备凑微分清单：

• x dx = d(x²/2) = ½d(x²)；x²dx = d(x³/3)
• dx/x = d(lnx)；eˣdx = d(eˣ)
• cosx dx = d(sinx)；sinx dx = −d(cosx)
• dx/√x = 2d(√x)；dx/x² = −d(1/x)

典型题：∫x·e^(x²)dx = ½∫e^(x²)d(x²) = ½e^(x²)+C。判断标志：被积函数里出现"复合函数 × 内层导数"的组合。

套路三：第二类换元法（简单根式代换）

被积函数含 √(ax+b) 时，令 t = √(ax+b)，解出 x 反代入，消去根号。三步纪律：换元 → 积分 → 回代。新变量积分结果必须换回原变量，漏回代是高频错误。

套路四：分部积分法

∫u dv = uv − ∫v du，把"难积的"转化为"好积的"。选 u 的口诀：反、对、幂、三、指（反三角 > 对数 > 幂 > 三角 > 指数，排前面的当 u，剩下的连同 dx 凑成 dv）。典型应用：∫x·lnx dx（lnx 当 u）、∫x·eˣdx（x 当 u）、∫x·sinx dx（x 当 u）、∫lnx dx（lnx 当 u，dv=dx）。

四、入门到精通的三步路径

入门：默写基本积分公式表（与求导表对照着背，互为镜像更好记），直接积分法练 20 题。

进阶：凑微分专项 30 题（对照上面的清单逐一覆盖）；分部积分 20 题；根式代换 10 题。每题做完都用求导还原法自查。

精通：拿到题目 15 秒内判断该用哪个套路；混合题型正确率 85%+；会处理"同题多法"（如 ∫x·sinx 只能分部，而 ∫x·cos(x²) 该凑微分——识别差异就是精通的标志）。

五、常见误区提醒

• 漏 +C：不定积分的 C 是步骤分的一部分，漏一个扣一次，考场上必须形成肌肉记忆
• ∫1/x dx 忘写绝对值
• 凑微分后变量没统一（一半 x 一半 t）
• 分部积分选错 u，越积越复杂——发现 ∫v du 比原题还难时，回头重选 u

学这一章的最佳策略是"对照学习"：每背一条积分公式，同时写出对应的求导公式。逆运算的镜像记忆，会让两个公式表都背得更牢。