2024年10月真题全卷（含参考答案）
2024 年 10 月真题全卷（含参考答案）
2024 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 · 高等数学(工专) · 课程代码 00022
试卷结构：单选 5 题 × 2 分 + 填空 8 空 × 4 分 + 计算 7 题 × 6 分 + 综合 2 题 × 8 分，满分 100 分，考试时长 150 分钟。
原卷来源：自考365 公开 PDF，本站逐题整理并独立验算答案。
第一部分 选择题（每小题 2 分，共 10 分）
- 下列函数中，表达式为基本初等函数的是
A. y = |cos x| B. y = x² + eˣ C. y = x D. y = xˣ - 级数 Σ(n=1→∞) n/(3n+1) 的敛散情况是
A. 收敛 B. 发散 C. 收敛于 1/3 D. 收敛于 1 - lim(x→π/3) ln(2cos x) =
A. ln√3 B. 1 C. 1/2 D. 0 - 设 f(x) 的一个原函数为 sin 2x，则 ∫f′(x)dx =
A. sin 2x B. sin 2x + C C. 2cos 2x + C D. 2cos 2x - 三阶方阵 A 可逆的充要条件是
A. |A| ≠ 0 B. A ≠ O C. |A| = 0 D. 存在三阶方阵 B，使 AB = BA
第二部分 填空题（每空 4 分，共 32 分）
- 函数 y = cos 2x 的周期为 ______。
- 极限 lim(x→0) (sin x)/x = ______。
- 已知 dy|x=π = 2dx，则 (dy/dx)|x=π = ______。
- 函数 y = ln(x² + 1) 在 [−1, 1] 上使罗尔定理结论成立的 ξ = ______。
- ∫(0→π) sin²x·cos x dx = ______。
- 一物体做直线运动，其速度为 v = √(1+t)（单位 m/s），则该物体自运动开始到 8s 末的位移为 ______。
- 行列式 |a 0 0; 0 0 b; 0 c 0| = ______。
- 设矩阵 B 满足 [1 3; 5 2]·B = B·[1 3; 5 2] = [1 0; 0 1]，则 B = ______。
第三部分 计算题（每小题 6 分，共 42 分）
- 求极限 lim(x→0) ln(1−2x)/sin 3x。
- 设 y = sin²x/ln x，求 y′|x=e。
- 讨论曲线 y = x³ + 3x² − 80 的凹凸性，并求其拐点。
- 求不定积分 ∫ e^(√x)/√x dx。
- 求函数 y = 2x³ − 3x² 在 [−1, 4] 上的最大值与最小值。
- 计算定积分 ∫(−π/2→π/2) (x + cos x)/(1 + sin²x) dx。
- 设线性方程组 x₁ + x₃ = λ；4x₁ + x₂ + 2x₃ = λ + 2；6x₁ + x₂ + 4x₃ = 2λ + 3。问 λ 取何值时方程组有解？
第四部分 综合题（每小题 8 分，共 16 分）
- 在曲线 y = eˣ 上找一点，使曲线在该点的切线过坐标原点。
- 求由曲线 y = 1 − x² 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案
选择题：1. C（y=x 是幂函数；A 含绝对值、B 是和、D 是幂指函数，均非基本初等函数）
2. B（通项 n/(3n+1) → 1/3 ≠ 0，必要条件不满足，发散）
3. D（cos(π/3)=1/2，2cos x=1，ln 1 = 0）
4. C（∫f′(x)dx = f(x)+C，而 f(x) = (sin 2x)′ = 2cos 2x）
5. A
填空题：6. π 7. 1 8. 2 9. ξ = 0（令 y′ = 2x/(x²+1) = 0）
10. 0（[sin³x/3] 从 0 到 π）
11. 52/3 米（∫(0→8)√(1+t)dt = (2/3)(1+t)^(3/2) |(0→8) = (2/3)(27−1)）
12. −abc（按第一行展开 a·(0·0−bc)）
13. B = A⁻¹ = (1/(−13))·[2 −3; −5 1] = [−2/13, 3/13; 5/13, −1/13]
计算题：
14. 等价无穷小：ln(1−2x) ~ −2x，sin 3x ~ 3x，极限 = −2/3。
15. 商法则：y′ = [2sin x·cos x·ln x − sin²x·(1/x)]/ln²x；代 x=e（ln e=1）：y′|x=e = sin 2e − (sin²e)/e。
16. y″ = 6x + 6。x < −1 时 y″ < 0，曲线凸；x > −1 时 y″ > 0，曲线凹；拐点 (−1, −84)。
17. 凑微分 ∫e^(√x)/√x dx = 2∫e^(√x)d(√x) = 2e^(√x) + C。
18. y′ = 6x(x−1)，驻点 x=0, 1。端点与驻点函数值：f(−1)=−5，f(0)=0，f(1)=−1，f(4)=80。最大值 80（x=4），最小值 −5（x=−1）。
19. x/(1+sin²x) 为奇函数，对称区间上积分为 0；剩 2∫(0→π/2) cos x/(1+sin²x)dx = 2·arctan(sin x)|(0→π/2) = 2×π/4 = π/2。
20. 行变换：第2行−4×第1行得 x₂−2x₃ = −3λ+2；第3行−6×第1行得 x₂−2x₃ = −4λ+3。两式相容需 −3λ+2 = −4λ+3，即 λ = 1（此时有无穷多解：x₁=1−t，x₂=−1+2t，x₃=t）。
综合题：
21. 设切点 (a, e^a)，切线 y = e^a + e^a(x−a) 过原点 ⇒ 0 = e^a(1−a) ⇒ a=1，所求点为 (1, e)。
22. V = π∫(−1→1)(1−x²)²dx = 2π∫(0→1)(1−2x²+x⁴)dx = 2π(1 − 2/3 + 1/5) = 16π/15。